分析 對(duì)①可討論若a,b是兩條平行直線,若a,b是兩條相交直線,考慮在平面內(nèi)的射影,即可判斷;
對(duì)②,用一個(gè)平面取截一個(gè)正方體,最少與三個(gè)面相交,最多與六個(gè)面相交,即可判斷;
對(duì)③,分別求得球的半徑和矩形的面積和所在圓的半徑,可得球心到截面的距離,由棱錐體積公式,計(jì)算即可判斷;
對(duì)④,在正方體ABCD-A1B1C1D1上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,并設(shè)該正方體的棱長為1,連接B1D,并在B1D上任取一點(diǎn)P,并設(shè)該正方體的棱長為1,連接B1D,并在B1D上任取一點(diǎn)P,運(yùn)用向量的坐標(biāo)和模,點(diǎn)到直線的距離,即可判斷.
解答 解:①,若a,b是兩條平行直線,則a,b在平面α內(nèi)的射影不可能是兩條相交直線,a,b在平面β內(nèi)的射影是兩條平行直線,不成立;若a,b是兩條相交直線,則a,b在平面α內(nèi)的射影可能是兩條相交直線,a,b在平面β內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線,不成立;故a,b是兩條異面直線,故①正確;
②,用一個(gè)平面取截一個(gè)正方體,最少與三個(gè)面相交,最多與六個(gè)面相交,截面圖象可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形,故②正確;
③,矩形ABCD的對(duì)角線長為√AB2+BC2=4√3,矩形的面積為s=12√3,矩形所在圓面的半徑為r=2√3,
由球表面積公式可得,4πR2=64π,解得R=4,球心到截面的距離為d=√R2−r2=2,
則棱錐O-ABCD的體積為13d•s=13×2×12√3=8√3,故③不正確;
④,在正方體ABCD-A1B1C1D1上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
并設(shè)該正方體的棱長為1,連接B1D,并在B1D上任取一點(diǎn)P,
因?yàn)?\overrightarrow{D{B}_{1}}$=(1,1,1),所以設(shè)P(a,a,a),其中0≤a≤1.
作PE⊥平面A1D,垂足為E,再作EF⊥A1D1,垂足為F,
則PF是點(diǎn)P到直線A1D1的距離.
所以PF=√a2+(1−a)2;
同理點(diǎn)P到直線AB、CC1的距離也是√a2+(1−a)2.
所以B1D上任一點(diǎn)與正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離都相等,
所以與正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè).故④不正確.
故答案為:①②.
點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷,主要是空間兩直線的位置關(guān)系、平面截正方體、球的截面性質(zhì)和棱錐的體積和正方體中的點(diǎn)與棱的距離,注意運(yùn)用舉反例、直接法和建立空間直角坐標(biāo)系,考查判斷和推理、空間想象能力和運(yùn)算能力,具有一定的綜合性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [25e2,13e) | B. | [13e,√e4e) | C. | [13e,e] | D. | [√e4e,e] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,√62] | B. | [√62,+∞) | C. | (1,√62) | D. | (√62,+∞) |
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