Question

11．（1+$\sqrt{x}}$）⁶（1+$\sqrt{x}$）⁴的展開式中x的系數(shù)是（　�。�

• A． -4
• B． 21
• C． 45
• D． 4

Answer 1

分析 直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解．

解答 解：（1+$\sqrt{x}}$）⁶（1+$\sqrt{x}$）⁴的展展開式中
若（1+$\sqrt{x}}$）⁶提供常數(shù)項(xiàng)，則（1+$\sqrt{x}$）⁴提供只含x的項(xiàng)，可得x的系數(shù)．
若（1+$\sqrt{x}}$）⁶提供只含x的項(xiàng)，則（1+$\sqrt{x}$）⁴提供常數(shù)項(xiàng)，可得x的系數(shù)．
若（1+$\sqrt{x}}$）⁶提供含${x}^{\frac{1}{2}}$的項(xiàng)，則（1+$\sqrt{x}$）⁴提供含${x}^{\frac{1}{2}}$項(xiàng)，可得x的系數(shù)．
由通項(xiàng)公式可得：${C}_{6}^{r}{x}^{\frac{r}{2}}•{C}_{4}^{t}{x}^{\frac{t}{2}}$．
當(dāng)r=0，則t=2，可得x的系數(shù)為${C}_{4}^{2}=6$．
當(dāng)r=2，則t=0，可得x的系數(shù)為${C}_{6}^{2}=15$．
當(dāng)r=1，則t=1，可得x的系數(shù)為${C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}$=24．
合并后可得展開式中x的系數(shù)為15+6+24=45．
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．