已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與軸相切,求圓被直線截得的線段長(zhǎng).
(1);(2).
解析試題分析:(1)先根據(jù)題中的條件確定、的值,然后利用求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)先確定點(diǎn)的坐標(biāo),求出圓的方程,然后利用點(diǎn)(圓心)到直線的距離求出弦心距,最后利用勾股定理求出直線截圓所得的弦長(zhǎng).
試題解析:(1)設(shè)橢圓的方程為,由題意知,,解得,
則,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分
(2)由題意可知,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且位于軸正半軸,
又圓與軸相切,故點(diǎn)的坐標(biāo)為,
不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/f/jqe5.png" style="vertical-align:middle;" />,所以, 7分
代入橢圓的方程,可得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ac/1/19cag3.png" style="vertical-align:middle;" />,解得, 10分
所以圓的圓心為,半徑為,其方程為 12分
因?yàn)閳A心到直線的距離 14分
故圓被直線截得的線段長(zhǎng)為 16分
考點(diǎn):橢圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、勾股定理
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦瞇分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)過F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且的面積為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn),的距離之和等于,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線過點(diǎn)且與曲線交于,兩點(diǎn).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)是否存在△面積的最大值,若存在,求出△的面積;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,過任作直線(與軸不平行)交拋物線分別于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為,
(1)求證:直線與軸交點(diǎn)必為定點(diǎn);
(2)過分別作拋物線的切線,兩條切線交于,求的最小值,并求當(dāng)取最小值時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且過點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)若拋物線上一點(diǎn)滿足,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓x2+=1有相同的離心率,斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
拋物線與直線相切,是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn),的垂直平分線與軸交于點(diǎn),且.
(1)求的值;
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的離心率等于,點(diǎn)P在橢圓上。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),是否存在定直線:,使得與的交點(diǎn)總在直線上?若存在,求出一個(gè)滿足條件的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)、在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
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