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【題目】如圖，四棱錐中，底面是正方形，且四個側面均為等邊三角形.延長至點使，連接，.

（1）證明：；

（2）求二面角平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點，連接，推導出平面，從而，由此能證明．

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）連接，交于點，連接，如圖

∵底面是正方形

∴

∵四棱錐中四個側面均為等邊三角形

∴

又，故為、的中點

∴

∵

∴平面

∵，為的中點

∴

∴平面

∴

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，則，0，，，，，，，，，0，，

，0，，，，，，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設二面角的平面角為，

則．

觀察圖形知二面角的平面角為鈍角

二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數．

（1）若，證明：；

（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．

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【題目】圖是一個的方格（其中心的方格線已被劃去）.一只青蛙停在格處，從某一時刻起，青蛙每隔一秒鐘就跳到與它所在方格有公共邊的另一方格內，直至跳到格才停下..若青蛙經過每一個方格不超過一次，則青蛙的跳法總數為________.

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【題目】在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1至5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.

（1）求觀眾甲選中3號歌手的概率；

（2）表示3號歌手得到觀眾甲、乙的票數之和，求.

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【題目】設數列的前n項和為，已知，，，則數列的前2n項和為______．

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【題目】已知某公司成本為元，所得的利潤元的幾組數據入下.

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

1

4

5

2

3

2

1

3

4

0

根據上表數據求得回歸直線方程為：

（1）若這個公司所規(guī)劃的利潤為200萬元，估算一下它的成本可能是多少？（保留1位小數）

（2）在每一組數據中，，相差，記為事件；，相差，記為事件；，相差，記為事件.隨機抽兩組進行分析，則抽到有事件發(fā)生的概率.

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【題目】已知拋物線的準線與雙曲線相交于、兩點，雙曲線的一條漸近線方程是，點是拋物線的焦點，且是等邊三角形，則該雙曲線的標準方程是( )

A.B.

C.D.

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【題目】已知橢圓的方程為，離心率，且短軸長為4．

求橢圓的方程；

已知，，若直線l與圓相切，且交橢圓E于C、D兩點，記的面積為，記的面積為，求的最大值．

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【題目】為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．擬修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設∠BAD＝，(，)．

（1）當cos＝時，求小路AC的長度；

（2）當草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．

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