Question

（2013•浙江二模）已知函數(shù)f(x)=

x+ 1 x ，x＞0 x3+9，x≤0

，若關(guān)于x的方程f（x²+2x）=a（a∈R）有六個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是（　　）

A．（2，8]

B．（2，9]

C．（8，9]

D．（8，9）

Answer 1

分析：令t=x²+2x，則t≥-1，f（t）=

t+ 1 t ， t＞0 t3+9 ，-1≤t≤0

．由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=a 有3個(gè)不同的交點(diǎn)，且每個(gè)t值有2個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答：解：令t=x²+2x=（x+1）²-1，則t≥-1，
函數(shù)f（t）=

t+ 1 t ， t＞0 t3+9 ，-1≤t≤0

．
由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=a 有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
且每個(gè)t值有2個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，如圖所示：
由于當(dāng)t=-1時(shí)，f（t）=8，此時(shí)，t=-1對(duì)應(yīng)的x值只有一個(gè)x=-1，不滿足條件，故a的取值范圍是 （8，9]，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．