Question

4．已知A、B是函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]圖象的兩個端點，M（x，y）是f（x）上任意一點，過M（x，y）作MN⊥x軸交直線AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．
（1）若f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，證明：f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上“$\frac{1}{2}$階線性近似”；
（2）若f（x）=x²在[-1，2]上“k階線性近似”，求實數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，滿足|MN|≤$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得到答案．
（2）由已知可得 N和M的橫坐標(biāo)相同，根據(jù)|MN|=x+2-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$及x∈[-1，2]，求出|MN|的范圍，再由|MN|≤k恒成立，求得k的取值范圍．

解答 證明：（1）若f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，則A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）、B（2，$\frac{5}{2}$），
故直線AB的方程為：y=$\frac{5}{2}$，
則由|MN|=$\frac{5}{2}$-（x+$\frac{1}{x}$），
∴|MN|∈[0，$\frac{1}{2}$]，
故|MN|≤$\frac{1}{2}$，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上“$\frac{1}{2}$階線性近似”；
解：（2）由MN⊥x交直線AB于N，得 N 和M的橫坐標(biāo)相同．
對于區(qū)間[-1，2]上的函數(shù)f（x）=x² ，A（-1，1）、B（2，4），
則直線AB的方程為：y=x+2，
則有|MN|=x+2-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴|MN|∈[0，$\frac{9}{4}$]．
再由|MN|≤k恒成立，可得 k≥$\frac{9}{4}$．
故實數(shù)k的最小值為$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查的知識點是新定義“k階線性近似”，正確理解新定義“k階線性近似”，是解答的關(guān)鍵．