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14.已知函數(shù)f(x)=ax-1x-(a+1)lnx,a∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當a≥1時,若f(x)>1在區(qū)間[1e,e]上恒成立,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)先求出f(x)的定義域,再求導(dǎo),根據(jù)a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值,再由f(x)>1在區(qū)間[1e,e]上恒成立,得到a的范圍.

解答 解:(Ⅰ) 函數(shù)f(x) 的定義域為{x|x>0},fx=ax2a+1x+1x2=ax1x1x2
(1)當a≤0 時,ax-1<0,令f'(x)>0,解得0<x<1,則函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),
令f'(x)<0,解得x>1,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
所以函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(2)當0<a<1,令f'(x)<0,解得1<x<1a,則函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (1,1a);
令f'(x)>0,解得0<x<1或x>1a,則函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,1),(1a,+∞);
(3)當a=1時,f'(x)≥0恒成立,則則函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),
(4)當a>1時,1a<1,令f'(x)<0,解得1a<x<1,則函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (1a,1);
令f'(x)>0,解得0<x<1a或x>1,則函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,1a),(1,+∞);
(Ⅱ)由(Ⅰ)得當a=1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1e,e]上單調(diào)遞增,則f(x)min=f(1e)=1e-e-2<1,故不滿足條件,
若a≥e,則由(Ⅰ)知,函數(shù)f(x) 在(1,e )上單調(diào)遞增,在(1e,1)單調(diào)遞減,
f(x)min=f(1)=a-1>e-1>1,滿足條件
當1<a<e時,由(Ⅰ)知,函數(shù)f(x) 在(1e,1a),(1,e )上單調(diào)遞增,在(1a,1)單調(diào)遞減,
當x=1時,函數(shù)f(x)有極小值,極小值為a-1,
若極小值為最小值,f(x)>1在區(qū)間[1e,e]上恒成立,則a-1>1,解得2<a<e,
若f(x)min=f(1e)=ae-e+a+1,
ae-e+a+1>1,
即a>e2e+1
因為e2e+1<2,
綜上所述a的取值范圍為(2,+∞).

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的判斷,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.要注意對參數(shù)進行分類討論,屬于中檔題.

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