Question

(本小題滿分12分）

已知直線l₁：4x:－3y＋6=0和直線l₂：x＝－，.若拋物線C:y²=2px上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2.

(I )求拋物線C的方程；

(II)直線l過拋物線C的焦點F與拋物線交于A，B兩點，且AA₁，BB₁都垂直于直線l₂，垂足為A₁，B₁，直線l₂與y軸的交點為Q，求證：為定值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）= 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）為拋物線的準線，焦點為，由拋物線的定義知，拋物線上的點到直線的距離等于其到焦點的距離，

拋物線上的點到直線的距離與到焦點的距離之和的最小值為焦點到直線的距離……3分

所以，

所以拋物線的方程為……………5分

（Ⅱ）設(shè)，,

設(shè):，則

得

所以，，

，

……………7分

又

………………10分

=……………12分

考點：本題主要考查拋物線的標準方程，拋物線的幾何意義，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點評：中檔題，本題求拋物線的標準方程，主要運用的是拋物線的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和p的值。研究直線與拋物線的位置關(guān)系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。