Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），且過點(diǎn)P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{30}}{3}$）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)m為何值時，直線l：y=$\sqrt{3}$x+m與橢圓相交，并求此時相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：2a=丨PF₁丨+丨PF₂丨=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，求得a，由c=2$\sqrt{2}$，則b²=a²-c²=4，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，即可求得直線l：y=$\sqrt{3}$x+m與橢圓相交，由韋達(dá)定理求得x₁+x₂=$\frac{-6\sqrt{3}m}{10}$，x₁•x₂=$\frac{3（{m}^{2}-4）}{10}$，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得
弦的中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的定義可知2a=丨PF₁丨+丨PF₂丨=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，…（2分）
又c=2$\sqrt{2}$，則b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：10x²+6$\sqrt{3}$mx+3（m²-4）=0．…（6分）
則△=108m²-120（m²-4）=480-12m²＞0，
∴-2$\sqrt{10}$＜m＜2$\sqrt{10}$，…（8分）
設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為（x₀，y₀），
則x₁+x₂=$\frac{-6\sqrt{3}m}{10}$，x₁•x₂=$\frac{3（{m}^{2}-4）}{10}$，…（9分）
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}m}{10}$，y₀=$\sqrt{3}$x₀+m=$\frac{m}{10}$，
即中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{3}m}{10}$，$\frac{m}{10}$）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．