【題目】已知點(diǎn)， 為橢圓:上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：直線、的斜率之積為-；

（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，并用其坐標(biāo)表示斜率，通過斜率之積,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上,化簡可得直線、的斜率之積為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) 取MN的中點(diǎn)H，則，則|可轉(zhuǎn)化為,聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于斜率k的方程，求解即可.

試題解析：（I）設(shè)點(diǎn)，，則

，即

故得證．

（II）假設(shè)存在直線滿足題意．

顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓不相交．

①當(dāng)直線的斜率時(shí)，設(shè)直線為：

聯(lián)立，化簡得：

由，解得

設(shè)點(diǎn)，，則

取的中點(diǎn)，則，則

即 ，化簡得，無實(shí)數(shù)解，故舍去．

②當(dāng)時(shí)， 為橢圓的左右頂點(diǎn)，顯然滿足，此時(shí)直線的方程為．

綜上可知，存在直線滿足題意，此時(shí)直線的方程為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)在上的最小值小于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓O：，直線l：．

若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值；

若，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，試探究：直線CD是否過定點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O為圓心的圓與直線相切．

(1)求圓O的方程．

(2)直線與圓O交于A，B兩點(diǎn)，在圓O上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)直線l的斜率；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知m，n，是直線，α，β，γ是平面，給出下列命題：

（1）若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β．

（2）若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，則m∥n．

（3）若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β

（4）若α∩β=m，n∥m且nα，nβ，則n∥α且n∥β

其中正確的命題是（　　）

A. （1）（2）B. （2）（4）C. （2）（3）D. （4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）在圓內(nèi)直徑所對(duì)的圓周角是直角.此定理在橢圓內(nèi)（以焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式為例）可表述為“過橢圓的中心的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線，斜率存在時(shí)，它們之積為定值.”試求此定值；

（2）在圓內(nèi)垂直于弦的直徑平分弦.類比（1）將此定理推廣至橢圓，不要求證明.

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