Question

某運(yùn)輸裝置如圖所示，其中鋼結(jié)構(gòu)ABD是AB=BD=l，∠B=

π

3

的固定裝置，AB上可滑動(dòng)的點(diǎn)C使CD垂直與底面（C不A，B與重合），且CD可伸縮（當(dāng)CD伸縮時(shí)，裝置ABD隨之繞D在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)），利用該運(yùn)輸裝置可以將貨物從地面D處沿D→C→A運(yùn)送至A處，貨物從D處至C處運(yùn)行速度為v，從C處至A處運(yùn)行速度為3v．為了使運(yùn)送貨物的時(shí)間t最短，需在運(yùn)送前調(diào)整運(yùn)輸裝置中∠DCB=θ的大小．
（1）當(dāng)θ變化時(shí)，試將貨物運(yùn)行的時(shí)間t表示成θ的函數(shù)（用含有v和l的式子）；
（2）當(dāng)t最小時(shí)，C點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在AB的什么位置？

Answer 1

考點(diǎn)：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題,集合的含義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,三角函數(shù)的最值

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：第（1）問(wèn)，時(shí)間t分成兩段，從D到C設(shè)為t₁，從C到A設(shè)為t₂，要建立t與θ的函數(shù)關(guān)系，需要構(gòu)造三角形，利用正余弦定理解決．第（2）問(wèn)，根據(jù)第（1）問(wèn)三角函數(shù)的形式，當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，t取最小值．

解答： 解：（1）如圖，連接AD，在△ACD中，AB=BD=l，∠B=

π

3

，
∴AD=l，∠A═

π

3

，
∵貨物從D處至C處運(yùn)行速度為v，設(shè)運(yùn)行的時(shí)間為t₁，則CD=vt₁，
 貨物從C處至A處運(yùn)行速度為3v，設(shè)運(yùn)行的時(shí)間為t₂，則AC=3vt₂，
∴在△ACD中，由正弦定理得，

vt1

sinA

=

l

sin(π-θ)

，

3vt2

sin(θ- π 3 )

=

l

sin(π-θ)

 
∴t1=

3 l

2vsinθ

，t2=

lsin(θ- π 3 )

3vsinθ

∴t=t1+t2=

3 l

2vsinθ

+

lsin(θ- π 3 )

3vsinθ

=

3 3 l+2lsin(θ- π 3 )

6vsinθ

，（

π

3

＜θ＜

2π

3

）；
（2）由（1）知當(dāng)θ=

π

2

，t最小，即C在AB的中點(diǎn)時(shí)，t取最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三解函數(shù)及解三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度較大，關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造三角形利用正余弦定理構(gòu)建三角函數(shù)模型．