分析 (Ⅰ)推導出AE⊥EC,從而BC⊥平面ACDE,進而BC⊥AE,AE⊥平面BCE,由此能證明平面ABE⊥平面BCE.
(Ⅱ)取AC的中點M,連結DM交EC于點F,過點F作FH⊥BE于點H,連結DH,則∠DHF為二面角C-BE-D的平面角,由此能求出二面角C-BE-D的正弦值.
解答 證明:(Ⅰ)如圖1,∵AC=BC=4,等腰梯形ACDE中,AC∥DE且AE=DE=2,
∴∠EAC=60°,∴AE⊥EC,
∵平面ABC⊥平面ACDE,交線為AC,∴BC⊥平面ACDE,
∴BC⊥AE,∴AE⊥平面BCE,
∵AE?平面ABE,∴平面ABE⊥平面BCE.
解:(Ⅱ)如圖2,取AC的中點M,連結DM交EC于點F,
在等腰梯形ACDE中,由已知得DF∥AE,
由(Ⅰ)知AE⊥平面BCE,∴DF⊥平面BCE,
過點F作FH⊥BE于點H,連結DH,則DH⊥BE,
∴∠DHF為二面角C-BE-D的平面角,
∵DE=2,EB=$\sqrt{3+9+16}$=2$\sqrt{7}$,BD=$\sqrt{3+1+16}$=2$\sqrt{5}$,
又DE=2,∴由余弦定理得cos∠EBD=$\frac{28+20-4}{2×2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}$=$\frac{11}{2\sqrt{35}}$,∴sin∠EBD=$\frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{35}}$,
∴DH=DBsin$∠EBD=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{7}}$,
又在等腰△CDE中,由題意得DF=1,
∴在Rt△DFH中,sin$∠DHF=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{19}}$=$\frac{\sqrt{133}}{19}$,
∴二面角C-BE-D的正弦值為$\frac{\sqrt{133}}{19}$.
點評 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的合理運用.
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為了了解某學校1200名高中男生的身體發(fā)育情況,抽查了該校100名高中男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖,據(jù)此估計該校高中男生體重在的人數(shù)為( )
A.360 B.336 C.300 D.280
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A. | 2 | B. | $\sqrt{1+{m^2}}$ | C. | 1 | D. | $\sqrt{1-{m^2}}$ |
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