Question

7．對任意實數(shù)x，總存在y∈[1，2]，使得x²+xy+y²≥2x+my+3成立，則實數(shù)m的取值范圍是$m≤\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先看成關(guān)于x的二次不等式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于y的不等式．

解答 解：∵x²+xy+y²≥2x+my+3對任意的x恒成立
化簡得：x²+x（y-2）+y²-my-3≥0對任意的x恒成立
∴△=（y-2）²-4（y²-my-3）≤0
3y²+（4-4m）y-16≥0，y∈[1，2]，
∴$4m-4≤3y-\frac{16}{y}$，
∵總存在y∈[1，2]，$4m-4≤3y-\frac{16}{y}$，∴4m-4≤g（y）_max．
∵$g（y）=3y-\frac{16}{y}$在[1，2]單調(diào)遞增．
∴g（y）_max=-2，
解得：m≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：$m≤\frac{1}{2}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題．