Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=e^xsinπx，則方程xf（x）=f'（x）在區(qū)間（-2014，2016）上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A． 2015
• B． 4030
• C． 2016
• D． 4032

Answer 1

分析 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化方程的根為個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，利用對稱性求解即可．

解答 解：由f'（x）=e^x（sinπx+πcosπx）及xf（x）=f'（x）
得xe^xxinπx=e^x（sinπx+πcosπx）⇒（x-1）sinπx=πcosπx，
由此方程易知sinπx≠0，cosπx≠0，則有$tanπx=\frac{π}{x-1}$，
由于y=tanπx與$y=\frac{π}{x-1}$的圖象均關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，
則在區(qū)間（-2014，2016）上的所有實(shí)根之和為2015×2=4030，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)以及求和，對稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．