Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），將曲線(xiàn)C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 ，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 ，得到曲線(xiàn)C2 ， 在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為4ρsin（θ+ ）+ =0．
（1）求曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程及直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P為曲線(xiàn)C1上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），

可得曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，

可得x2+y2﹣x﹣ =0，極坐標(biāo)方程為ρ2﹣ρcosθ﹣ =0

直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為4ρsin（θ+ ）+ =0，即4ρ（ sinθ+ cosθ）+ =0，

即2 x+2y+ =0．

聯(lián)立方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)（﹣ ，0），（0，﹣ ），

極坐標(biāo)為（ ，π），（ ， ）

（2）解：設(shè)P（1+2cosα， sinα），

則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d= （tanθ=2），

∴點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值為

【解析】（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，把曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再求出交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P（1+2cosα， sinα），求得點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，由此求得d的最大值．