【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如圖,其中,,,點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

(Ⅰ)試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面?若存在,請(qǐng)證明平面,并求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅱ)求二面角的正弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,得,進(jìn)而得到直線平面,利用平行線的性質(zhì).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,進(jìn)而得到,得到,以為空間原點(diǎn),,分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

求得平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求解二面角的大小.

試題分析:(Ⅰ)作的中點(diǎn),連接于點(diǎn),點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

證明:連接,

的中點(diǎn),的中點(diǎn),

,

平面平面,

∴直線平面.

,,

,

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

又面,面,,

所以.

,.

為空間原點(diǎn),,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,,

為正三角形,,

,,

,,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量,則由,可得

,則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量,則由可得

,則.

,

設(shè)二面角的平面角為,則,

∴二面角的正弦值為.

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C.
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