Question

2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	(0,15]	4	0.1
第二組	(15,30]	12	0.3
第三組	(30,45]	8	0.2
第四組	(45,60]	8	0.2
第三組	(60,75]	4	0.1
第四組	(75,90)	4	0.1

（Ⅰ）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；
（Ⅱ）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；
（Ⅲ）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米．
（2）該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．
（3）變量的分布列為

	0	1	2

（天）,或（天）。

解析試題分析：（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米．    4分
（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/8/tqz0g2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．                      8分
（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，
則.    隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2.且.
所以，  所以變量的分布列為

	0	1	2

（天）,或（天）   12分
考點(diǎn)：本題主要考查頻率分布表，眾數(shù)、中位數(shù)的概念及計(jì)算，隨機(jī)變量的分布列與期望。
點(diǎn)評：典型題，統(tǒng)計(jì)中的抽樣方法，頻率直方圖，概率計(jì)算及分布列問題，是高考必考內(nèi)容及題型。題中隨機(jī)變量服從，使分布列的確定思路明確。對計(jì)算能力要求較高。