Question

給定橢圓C：＋＝1(a>b>0)，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.

(1) 求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

(2) 若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；

(3) 在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

解：(1) 由題意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故橢圓C的方程為＋y²＝1，其“準(zhǔn)圓”方程為x²＋y²＝4.

(2) 由題意，可設(shè)B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，則有＋n²＝1，又A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，故＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，故·＝(m－2)²－n²＝m²－4m＋4－＝m²－4m＋3＝，又－<m<，故∈[0，7＋4]，所以的取值范圍是[0，7＋4)．

(3) 設(shè)P(s，t)，則s²＋t²＝4.當(dāng)s＝±時(shí)，t＝±1，則l₁，l₂其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有l(wèi)₁⊥l₂.當(dāng)s≠±時(shí)，設(shè)過P(s，t)且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的斜率為k，則l的方程為y－t＝k(x－s)，代入橢圓C方程可得x²＋3[kx＋(t－ks)]²＝3，即(3k²＋1)x²＋6k(t－ks)x＋3(t－ks)²－3＝0，由Δ＝36k²(t－ks)²－4(3k²＋1)[3(t－ks)²－3]＝0，可得(3－s²)k²＋2stk＋1－t²＝0，其中3－s²＝0，設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁，k₂是上述方程的兩個(gè)根，故k₁k₂＝＝－1，即l₁⊥l₂.綜上可知，對(duì)于橢圓C上的任意點(diǎn)P，都有l(wèi)₁⊥l₂.