Question

設函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）記集合M={（a，b，c）|a，b，c不能構成一個三角形的三邊長，且a=b}，則（a，b，c）∈M所對應的f（x）的零點的取值集合為

 

；
（2）若a，b，c是△ABC的三邊長，則下列結論正確的是

 

（寫出所有正確結論的序號）．
①對于區(qū)間（-∞，1）內的任意x，總有f（x）＞0成立；
②存在實數(shù)x，使得a^x，b^x，c^x不能同時成為任意一個三角形的三條邊長；
③若

CA

•

CB

＜0，則存在實數(shù)x∈（1，2），使f（x）=0．（提示：

AB

=

CB

-

CA

）

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)單調性的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由集合M中的元素滿足的條件，得到c≥a+b=2a，求得

c

a

的范圍，解出函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x的零點，利用不等式可得零點x的取值集合；
（2）對于①，把函數(shù)式f（x）=a^x+b^x-c^x變形為，利用指數(shù)函數(shù)的單調性即可證得結論成立；對于②，利用取特值法說明命題是正確的；對于③，由

CA

•

CB

＜0，知角C為鈍角，說明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零點的存在性定理可得命題③正確．

解答： 解：（1）∵c＞a，由c≥a+b=2a，∴

c

a

≥2，則ln

c

a

≥ln2＞0，
令f（x）=a^x+b^x-c^x=2a^x-c^x=c^x[2(

a

c

)x-1]=0，得(

c

a

)x=2，
∴x=

ln2

ln c a

≤

ln2

ln2

=1，0＜x≤1，
故答案為：{x|0＜x≤1}；
（2）∵f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，
又

a

c

＜1，

b

c

＜1，∴對x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞(

a

c

)1+(

b

c

)1-1=

a+b-c

c

＞0，
故命題①正確；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，不能構成一個三角形的三條邊長．
故命題②正確；
若

CA

•

CB

＜0，則角C為鈍角，且a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴?x∈（1，2），使f（x）=0．
∴命題③正確．
故答案為①②③．

點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了函數(shù)零點的判斷方法，訓練了特值化思想方法，解答此題的關鍵是對題意的正確理解，此題是中檔題．