【題目】在三棱錐中,底面,是線段上一點(diǎn),且.三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球表面上,過(guò)點(diǎn)作球的截面,若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為,則球的表面積為(

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱,根據(jù)球的性質(zhì),確定球心位置,要使過(guò)點(diǎn)作球的截面圓的面積最小,只需截面與垂直,當(dāng)截面過(guò)球心時(shí),截面面積最大,即可求解.

將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱,

且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球,

記三角形的中心為,設(shè)球的半徑為,

則球心到平面的距離為,即

連接,則,∴.

中,取的中點(diǎn)為,連接,

,

所以.中,

由題意得到當(dāng)截面與直線垂直時(shí),截面面積最小,

設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為,

,

所以最小截面圓的面積為

當(dāng)截面過(guò)球心時(shí),截面面積最大為

所以,

球的表面積為.

故選:C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)證明:;

2)求二面角的余弦值.

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