Question

【題目】若函數(shù)f（x）=x3+a|x2﹣1|，a∈R，則對(duì)于不同的實(shí)數(shù)a，則函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)不可能是（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.5個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依題意：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x3，在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，有一個(gè)單調(diào)區(qū)間①

當(dāng)a≠0時(shí)，∵f（x）=x3+a|x2﹣1|a∈R

∴f（x）=

∴f′（x）= （2）當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，∵﹣ ＜﹣ ＜0，0＜ ＜ ，∴導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖1：（其中m為圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）

∴x∈（﹣∞，0]時(shí)，f′（x）＞0，x∈（0，m）時(shí)，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

∴f（x）在x∈（﹣∞，0]時(shí)，單調(diào)遞增，x∈（0，m）時(shí)，單調(diào)遞減，x∈[m，+∞）時(shí)，單調(diào)遞增，有3個(gè)單調(diào)區(qū)間②（3）當(dāng)a≥3時(shí)，∵﹣ ＜﹣1， ＞1，∴導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖2：（其中n為x≤﹣1時(shí)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）

∴x∈（﹣∞，n]時(shí)，f′（x）＞0，x∈（n，﹣1]時(shí)，f′（x）＜0，x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）＞0，x∈[0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0

∴函數(shù)f（x）在x∈（﹣∞，n]時(shí)，單調(diào)遞增，x∈（n，﹣1]時(shí)，單調(diào)遞減，x∈（﹣1，0）時(shí)，單調(diào)遞增，x∈[0，1）時(shí)，單調(diào)遞減，x∈[1，+∞）時(shí)，單調(diào)遞增，

有5個(gè)單調(diào)區(qū)間③

由①②③排除A、C、D，

故選B

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．