分析:(1)按分段函數(shù)分段標準討論x,然后解不等式f(x)≤x即可;
(2)先求出函數(shù)f
k(x)的解析式,然后研究函數(shù)f
k(x)的單調(diào)性,從而得到f(x)的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點P
k的坐標,然后求出過P
kP
k+1這兩點的直線的斜率和過P
k+1P
k+2這兩點的直線的斜率,可證得所有的點P
k在某條直線L上.
(3)先求出求得最低點
Qk(k+1,),利用點到直線L的距離公式求得結(jié)果為定值.
解答:解:(1)當x∈[0,
]時,故不等式f(x)=x+
≤x,x無解;
當x∈[
,1]時,f(x)=2(1-x)≤x,解得x∈
[,1].
不等式f(x)≤x的解集為
[,1].---------(4分)
(2)由f(x)的第k階階梯函數(shù)的定義可得
fk(x)= | x+,x∈(k,k+] | 2(1-x)+, x∈[k+,k+1] |
| |
,k∈N
*.----(6分)
且
fk(x)= | x+,x∈(k,k+]是增函數(shù) | 2(1-x)+, x∈[k+,k+1]是減函數(shù) |
| |
.
∴f(x)的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點為
Pk(k+,1-),-----(7分)
第k+1階階梯函數(shù)圖象的最高點為
Pk+1(k+,1-),
所以過P
kP
k+1這兩點的直線的斜率為
-.--------(8分)
同理可得過P
k+1P
k+2這兩點的直線的斜率也為
-.
所以f(x)的各階階梯函數(shù)圖象的最高點共線,且直線方程為
y-1=-(x-),
即 2x+4y-5=0.----(10分)
(3)證明:同理求得最低點:
Qk(k+1,),點Q
k到(2)中的直線L的距離為
d==.-----(12分)
點評:本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)的單調(diào)性和最值,同時考查了分類討論的數(shù)學思想和運算求解的能力,屬于中檔題.