Question

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=

試題分析：（Ⅰ）,所以為中點(diǎn)。因?yàn)榈冗吶�角形中線即為高線，等腰三角形底邊中線也為高線，可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得底面。（Ⅱ）直線與平面在圖中沒有標(biāo)示出交點(diǎn)，故用空間向量法較簡單。根據(jù)底面為菱形和底面可建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系。求點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)，得,即可求點(diǎn)的坐標(biāo)，也可根據(jù)求。先求面的法向量，此法向量與所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值。（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面。設(shè)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，在（Ⅱ）中以求出面的法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032428855470.png" style="vertical-align:middle;" />∥平面，所以垂直與的法向量，可求得的值，若說明假設(shè)成立，否則假設(shè)不成立。
試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032428667534.png" style="vertical-align:middle;" />是菱形，,
所以為中點(diǎn).                      1分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032429635709.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,                                   3分[
所以底面.                                    4分
（Ⅱ）由底面是菱形可得,
又由（Ⅰ）可知.
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由是邊長為2的等邊三角形，，
可得.
所以.            5分
所以,.
由已知可得            6分
設(shè)平面的法向量為，則
即
令，則，所以.          8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240324301341156.png" style="vertical-align:middle;" />，          9分
所以直線與平面所成角的正弦值為，
所以直線與平面所成角的大小為.                   10分
（Ⅲ）設(shè)，則
.         11分
若使∥平面，需且僅需且平面，      12分
解得,          13分
所以在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面.
此時(shí)=.                                              14分