Question

對于定義在D上的函數(shù)f（x），如果存在常數(shù)M和N，使得對于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個下界，N稱為函數(shù)f（x）的一個上界．
（1）判斷函數(shù)f（x）=log₂x-x²在（0，+∞）上是否為有界函數(shù)，不必說明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是否為有界函數(shù)，請說明理由
（3）若函數(shù)f（x）=1+a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是有界函數(shù)，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義直接判斷即可，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論，（3）根據(jù)函數(shù)的有界性，建立條件關(guān)系即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=log₂x-x²在（0，+∞）上不是有界函數(shù)．
（2）∵f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴f（x）≥f（0）=3，
即f（x）在（-∞，0）的值域為[3，+∞），
故存在常數(shù)M≤3，使|f（x）|≥M成立．
但不存在N，使f（x）≤N成立，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上不是有界函數(shù)． 
（3）若函數(shù)f（x）=1+a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是有界函數(shù)，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，
則|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，
得-3≤1+at+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立…（6分）
設(shè)h（t）=-t-

4

t

，p（t）=

2

t

-t，
則h（t）在（0，1]上遞增；p（t）在（0，1]上遞減，
h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；
p（t）在（0，1]上的最小值為p（1）=1，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．