Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的弦長為3，直線與圓相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）用，分別表示和的面積，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6

【解析】

（Ⅰ）利用條件，求得，，的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）先分斜率存在和不存在兩種情況討論直線方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，求出的值，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切，得到直線中，的等量關(guān)系，然后將直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，通過消元化簡，得到根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線與橢圓相交所得弦的長度及點(diǎn)到直線的距離，然后利用面積公式并通過換元，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求得最小值．

解：（Ⅰ）由已知得，，結(jié)合，得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，得．

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

由與圓相切，得，整理得（*）

將的方程與橢圓的方程聯(lián)立得

所以，．

則

設(shè)為到直線的距離，則

所以

將（*）式代入得

令

所以．

綜上，的最大值為6．