Question

AB為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點弦，若|AB|=1，則AB中點的橫坐標為    ；若AB的傾斜角為α，則|AB|=    ．

Answer 1

【答案】分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當|AB|=1時，根據拋物線性質可知x₁++x₂+=|AB|求得x₁+x₂，進而可得AB中點的橫坐標；當AB的傾斜角為α，可知直線AB斜率為k=tanα設直線AB是y-0=tanα（x-）與拋物線方程聯(lián)立消去y求得x₁+x₂，進而根據拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離求得|AB|．
解答：解：拋物線y²=2px，∴焦點為（，0），準線方程為x=-
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①根據拋物線性質可知，x₁++x₂+=|AB|=1
∴x₁+x₂=1-p
∴AB中點的橫坐標=
②k=tanα
所以直線AB是y-0=tanα（x-）
代入拋物線方程得
tan²αx²-tan²αpx+tan²α=2px
tan²αx²-（tan²αp+2p）x+tan²α=0
所以x₁+x₂=
拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離
所以A橫坐標是x₁，所以A到準線距離=x₁+
B到準線距離=x₂+
所以AB=AF+BF=
點評：本題主要考查了拋物線的性質．要特別利用好“拋物線的拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離”的性質．