Question

已知橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，右焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)C(4，3

3

)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓與A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線(xiàn)l的傾斜角為

2

3

π，A點(diǎn)縱坐標(biāo)為正數(shù)，求S_△CAF；
（2）證明直線(xiàn)AC和直線(xiàn)BC斜率之和為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）已知直線(xiàn)AF的斜率和點(diǎn)F（1，0），可以求出直線(xiàn)AF的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得出A的坐標(biāo)，從而求出AF的長(zhǎng)度，接著求出點(diǎn)C到直線(xiàn)AF的距離，再利用面積公式即可．
（2）討論直線(xiàn)L的斜率．
①斜率為0時(shí)，方程為y=0，可以求出k_AC+K_BC=2

3

；
②斜率不為0時(shí)，令方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，再利用斜率公式分別求出直線(xiàn)AC和直線(xiàn)BC的斜率，相加后化簡(jiǎn)得到2

3

．綜上所述，得到k_AC+k_BC=2

3

解答：解：（1）利用點(diǎn)斜式易求出直線(xiàn)AF的方程：y=-

3

(x-1)，通過(guò)直線(xiàn)AF方程與橢圓方程聯(lián)立得出A（0，

3

），即|AF|=2
點(diǎn)C到直線(xiàn)AF的距離d=

| 3 (4-1)+3 3 |

1+3

=3

3

S△ACF=

1

2

|AF|•d=3

3

．
（2）①若直線(xiàn)為y=0時(shí)，此時(shí)A（-2，0），B（2，0）．即k_AC+k_BC=2

3

②若直線(xiàn)不為y=0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為x=my+1，

x=my+1 3x2+4y2-12=0

整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，△=36m²+36（3m²+4）＞0恒成立
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

∵kAC=

3 3 -y1

4-x1

=

3 3 -y1

4-(my1+1)

=

3 3 -y1

3-my1

同理，kBC=

3 3 -y2

3-my2

∴kAC+kBC=

3 3 -y1

3-my1

+

3 3 -y2

3-my2

=

18 3 -(3+3 3 m)(y1+y2)+2my1y2

(3-my1)(3-my2)

=

18 3 -(3+3 3 m)( -6m 3m2+4 )+2m( -9 3m2+4 )

9-3m( -6m 3m2+4 )+m2( -9 3m2+4 )

=

72 3 m2+72 3

36m2+36

=2

3

∴直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BC的斜率之和為定值2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與橢圓綜合題，考查橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)、焦點(diǎn)、直線(xiàn)的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，但計(jì)算量比較大，一定細(xì)心，離不開(kāi)平時(shí)的練習(xí)與努力．