Question

設(shè)向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ為銳角．
（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；
（2）若∥，求sin（2θ+）的值．

Answer 1

解：（1）∵•=2+sinθcosθ=，∴sinθcosθ=． …（2分）
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=．
又∵θ為銳角，∴sinθ+cosθ=（舍負）． …（5分）
（2）∵∥，
∴2×cosθ=sinθ×1，可得tanθ=2．　　　 …（7分）
∴sin2θ=2sinθcosθ===，
cos2θ=cos²θ-sin²θ===-．…（11分）
所以sin（2θ+）=sin2θ+cos2θ=×+×（- ）=． …（14分）
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式列式并化簡，得sinθcosθ=．再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可得（sinθ+cosθ）²的值，結(jié)合θ為銳角，開方即得sinθ+cosθ的值；
（2）根據(jù)兩個向量平行的充要條件列式，化簡得tanθ=2．再由二倍角的正、余弦公式，結(jié)合弦化切的運算技巧，算出sin2θ和cos2θ的值，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，可得sin（2θ+）的值．
點評：本題以平面向量數(shù)量積運算為載體，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式等知識，屬于中檔題．