Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）．
（1）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若-$\frac{1}{9}$≤a≤-$\frac{1}{10}$，證明：方程f′（x）=0有兩個不等實根x₁，x₂，并求|x₂-x₁|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)只需要2ax²+x-1≤0對任意的x＞0恒成立，通過分離參數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的取值范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)證明并判斷|x₂-x₁|的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-1=-$\frac{2{ax}^{2}+x-1}{x}$（x＞0），
若f（x）在定義域上是增函數(shù)，
只需要2ax²+x-1≤0，
即2a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，
所以a≤-$\frac{1}{8}$．
（2）證明：由（1）令f′（x）=0，
得：2ax²+x-1=0，
∵-$\frac{1}{9}$≤a≤-$\frac{1}{10}$，
∴△=1+8a＞0，
∴方程f′（x）=0有兩個不等實根x₁，x₂，
而x₁+x₂=-$\frac{1}{2a}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2a}$，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{{4a}^{2}}+\frac{2}{a}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2a}+2）}^{2}-4}$，
∵-$\frac{1}{9}$≤a≤-$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{3}{2}$≤|x₂-x₁|≤$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．