Question

【題目】給定一個(gè)數(shù)列，在這個(gè)數(shù)列里，任取項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)階子數(shù)列．

已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為常數(shù)），等差數(shù)列是

數(shù)列的一個(gè)3階子數(shù)列．

（1）求的值；

（2）等差數(shù)列是的一個(gè) 階子數(shù)列，且

（為常數(shù)，，求證：；

（3）等比數(shù)列是的一個(gè) 階子數(shù)列，

求證：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

試題（1）由成等差數(shù)列得，可解得；（2）是等差數(shù)列，由，知，從而，這樣數(shù)列是遞減的，但它是的子數(shù)列，因此各項(xiàng)就均為正，由此有，從而有，可得結(jié)論；（3）與（2）設(shè)，類似得，從而，＝＝．下面要證，這可由證明函數(shù)的單調(diào)性得其最大值得到結(jié)論．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，所以．

又因?yàn)?/span>，，，

代入得，解得．

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為．

因?yàn)?/span>，所以，

從而．

所以．

又因?yàn)?/span>，所以．

即．所以．

又因?yàn)?/span>，所以．

（3）設(shè) （），等比數(shù)列的公比為．

因?yàn)?/span>，所以．

從而．

所以

＝

＝．

設(shè)函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．

因?yàn)楫?dāng)，所以．所以．

即．

【注：若有其它解法，請酌情給分】