Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+1（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到[1，2]⊆[0，-$\frac{2}{3}$a]，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{2}{3}$a，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$a＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$a）遞增，在（-$\frac{2}{3}$a，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（-$\frac{2}{3}$a）=-$\frac{8}{27}$a³+a•$\frac{4}{9}$a²+1=$\frac{4}{12}$a³+1，
f（x）_極小值=f（0）=1．
（2）由（1）a≥0時(shí)，f（x）在[1，2]遞減，不合題意，
a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，-$\frac{2}{3}$a）遞減，在（-$\frac{2}{3}$a，+∞）遞增，
若f（x）在[1，2]遞減，則[1，2]⊆[0，-$\frac{2}{3}$a]，
故-$\frac{2}{3}$a≥2，解得：a≤-3，
故a的范圍是（-∞，-3]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．