Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為.設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，，其中，，.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；

（2）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) 的軌跡為直線. (2) (3) 直線必過軸上一定點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得、、的坐標(biāo),設(shè)動(dòng)點(diǎn).根據(jù)條件,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式,化簡即可得解.

（2）根據(jù),代入橢圓方程即可求得、的坐標(biāo).進(jìn)而求得直線與直線的方程.聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）設(shè)出直線與直線的方程,分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出、的坐標(biāo).討論與,并分別求得的值.即可求得所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題設(shè)得,,,,設(shè)動(dòng)點(diǎn),

由,,,

代入化簡得.

故點(diǎn)的軌跡為直線

（2）由,,得,則點(diǎn),

直線的方程為,

由,,得,則點(diǎn).

直線的方程為,

由.解方程組可得

即

（3）由題設(shè)知,直線的方程為：,直線的方程為：,

點(diǎn)滿足,,；

點(diǎn)滿足,,；

若,且,得,

此時(shí)直線的方程為,過點(diǎn)；

若,則,直線的斜率,

直線的斜率,

所以,所以直線過點(diǎn).

因此直線必過軸上一定點(diǎn).