Question

【題目】(2015·四川）如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行與x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（0,2）

【解析】由已知，點(diǎn)（，1）在橢圓E上， 因此, 解得a=2, b=, 所以橢圓的方程為。 （2）當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線x與橢圓相交于C, D兩點(diǎn)如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則, 即所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y0), 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)， 則M（0， ）， N（0，-）。由, 有=, 解得y0=1或y0=2， 所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0，2), 下面證明:對(duì)任意的直線l均有,當(dāng)直線的斜率l不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1的坐標(biāo)分別為(x1, y1),(x2, y2), 聯(lián)立, 得（2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判別式△=16k2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-, x1·x2=-，因此+==2k, 易知，點(diǎn)B關(guān)于:一軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B'(-x2, y2)

又KQA==k-, KQB==-k+=k-, 所以KQA= KQB ， 即Q,A,B'三點(diǎn)共線， 所以=,故存在故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0,2），使得恒成立。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．