Question

（2012•寧德模擬）若直線kx-y-2=0與曲線

1-(y-1)2

=x-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A．(

  4

  3

  ，2]
• B．(

  4

  3

  ，4]
• C．[-2，-

  4

  3

  )∪(

  4

  3

  ，2]
• D．(

  4

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：將直線化成斜截式，可得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），將曲線方程化簡(jiǎn)整理，得該曲線是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓位于直線x=1右側(cè)的部分．作出圖形，觀察直線的斜率k的變化，再結(jié)合計(jì)算即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：直線kx-y-2=0化成y=kx-2，可得它必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2）
而曲線

1-(y-1)2

=x-1，可變形整理為（x-1）²+（y-1）²=1（x≥1）
∴該曲線是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓位于直線x=1右側(cè)的部分
設(shè)直線在圓下方與圓相切時(shí)的斜率為k₁，直線過(guò)點(diǎn)（1，0）與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率為k₂．
可得當(dāng)直線kx-y-2=0與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，斜率k滿足k₁＜k≤k₂．
由點(diǎn)（1，1）到直線kx-y-2=0的距離d=

|k-1-2|

k2+1

=1，解得k₁=

4

3

而k₂=

-2-0

0-1

=2，由此可得

4

3

＜k≤2
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線斜率k的取值范圍，著重考查了曲線與方程的化簡(jiǎn)和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．