Question

5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+a|+|x|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）=|x+1|+|x|．通關(guān)當(dāng)x≥1，當(dāng)0＜x＜1，當(dāng)x≤0，分別求解不等式的解集即可．（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，則f（x）在R上最小值應(yīng)小于2．利用絕對(duì)值的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1|+|x|．
當(dāng)x≥1，得f（x）=2x-1，由f（x）≥2得x≥$\frac{3}{2}$，此時(shí)x$≥\frac{3}{2}$；
當(dāng)0＜x＜1，得f（x）=1，此時(shí)顯然f（x）≥2無(wú)解；
當(dāng)x≤0，得f（x）=1-2x，由f（x）≥2得x$≤-\frac{1}{2}$，此時(shí)x$≤-\frac{1}{2}$．
綜上，不等式f（x）≥2的解集為：$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，則f（x）在R上最小值應(yīng)小于2．
由絕對(duì)值不等式得|x-a|+|x|≥|x-a-x|=|a|，則|a|＜2，解得-2＜a＜2，
從而a的取值范圍為：（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，幾何意義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．