【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)設a=2,b= .
①求方程f(x)=2的根;
②若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函數(shù)g(x)=f(x)﹣2有且只有1個零點,求ab的值.

【答案】
(1)

解:① ,由 可得 ,

,即 ,則 ,

② 由題意得 恒成立,

,則由 可得 ,

此時 恒成立,即 恒成立

,當且僅當 時等號成立,

因此實數(shù) 的最大值為4


(2)

解: ,

, 可得 ,令 ,則 遞增,

,因此 ,

因此 時, , ,則 ;

時, ,則 ;

遞減, 遞增,因此 最小值為 ,

① 若 時, ,則 ;

logb2時, , ,則 ;

因此 時, ,因此 有零點,

時, ,因此 有零點,

至少有兩個零點,與條件矛盾;

② 若 ,由函數(shù) 有且只有1個零點, 最小值為 ,

可得

,

因此

因此 ,即 ,即 ,

因此 ,則


【解析】(1)①利用方程,直接求解即可.②列出不等式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值,轉(zhuǎn)化求解即可.
(2)求出g(x)=f(x)﹣2=ax+bx﹣2,求出函數(shù)的導數(shù),構(gòu)造函數(shù)h(x)= + ,求出g(x)的最小值為:g(x0).同理①若g(x0)<0,g(x)至少有兩個零點,與條件矛盾.②若g(x0)>0,利用函數(shù)g(x)=f(x)﹣2有且只有1個零點,推出g(x0)=0,然后求解ab=1

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(2)

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.

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(2)求數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項和.

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