Question

已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足(a+1)

m

3

＜(3-2a)

m

3

的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：冪函數(shù)y=x^α的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)．則必須滿足α為偶數(shù)且α＜0，則易得m的值．再根據(jù)冪函數(shù)y=x^α的單調(diào)性，求滿足(a+1)

m

3

＜(3-2a)

m

3

的a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)在（0，+∞）上遞減，
∴m²-2m-3＜0即-1＜m＜3，又m∈N^*
∴m=1或2，又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴m²-2m-3為偶函數(shù)，故m=1為所求．
∴函數(shù)y=x -

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均為減函數(shù)
∴(a+1)

m

3

＜(3-2a)

m

3

等價(jià)于a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

．
故a的取值范圍為（-∞，-1）∪（

2

3

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)y=x^α，α＜0時(shí)則為減函數(shù)；α＞0時(shí)，冪函數(shù)為增函數(shù)．要注意α的不同，其定義域是不同的．解不等式時(shí)要注意．