Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，且BC=$\frac{1}{2}$AD=1，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為等邊三角形，M是棱PC上的一點，設(shè)$\frac{PM}{MC}$=k（M與C不重合）
（Ⅰ）求證：CD⊥DP；
（Ⅱ）若PA∥平面BME，求k的值；
（Ⅲ）若二面角M-BE-A的平面角為150°，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PE⊥AD，從而PE⊥平面ABCD，進而PE⊥CD，再由CD⊥DA，得CD⊥平面PAD，由此能證明CD⊥DP．…..（5分）
（Ⅱ）連接AC交BE于N，連接MN，推導(dǎo)出PA∥MN，從而∠CBN=∠AEN=90°，進而△CNB≌△ANE．由此能求出k=1．
（Ⅲ）法一：連接CE，過點M作MF∥PE交CE于F，過A（0，1，0）作FG⊥BE于G，連接MG，則∠MGF為二面角M-BE-C的平面角，由此能示出k．
法二：以E為原點，射線EB，EA，EP分別為x正半軸，y正半軸，z正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用和量法能求出k．

解答 （本題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為△PAD為等邊三角形，E為AD的中點，所以PE⊥AD．
因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．
又CD?平面ABCD，所以PE⊥CD．
由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．
雙DP?平面PAD，所以CD⊥DP．…..（5分）
解：（Ⅱ）連接AC交BE于N，連接MN．
因為PA∥平面BME，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．
因為 AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．
又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．
所以CN=NA，則M為PC的中點，k=1．…..（9分）

（Ⅲ）方法一：
依題意，若二面角M-BE-A的大小為150°，則二面角M-BE-C的大小為30°．
連接CE，過點M作MF∥PE交CE于F，過A（0，1，0）作FG⊥BE于G，連接MG．
因為PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．
又BE?平面ABCD，所以MF⊥BE．
又MF∩FG=F，MF?平面MFG，F(xiàn)G?平面MFG，
所以BE⊥平面MFG，從而BE⊥MG．
則∠MGF為二面角M-BE-C的平面角，即∠MGF=30°．
在等邊△PAD中，$PE=\sqrt{3}$．由于$\frac{MF}{PE}=\frac{CM}{PC}=\frac{1}{1+k}$，所以$MF=\frac{{\sqrt{3}}}{1+k}$．又$\frac{FG}{BC}=\frac{EG}{BE}$，所以$FG=\frac{k}{1+k}$．
在△MFG中，$tan∠MGF=\frac{MF}{FG}$
解得k=3．…..（14分）
方法二：由于EP⊥EA，EP⊥EB，EA⊥EB，以E為原點，
射線EB，EA，EP分別為x正半軸，y正半軸，z正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖．∵$BC=\frac{1}{2}AD=1$，∠BAD=60°，
∴A（0，1，0），$B（\sqrt{3}，0，0）$，$C（\sqrt{3}，-1，0）$，D（0，-1，0），E（0，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$
平面ABE即xoy平面的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
設(shè)M（x，y，z），由條件$\frac{PM}{MC}=k$可知：$\overrightarrow{PM}=k\overrightarrow{MC}$（k＞0），
即$（x，y，z-\sqrt{3}）=k（\sqrt{3}-x，-1-y，-z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=k（\sqrt{3}-x）\\ y=k（-1-y）\\ z-\sqrt{3}=-kz\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}k}}{1+k}\\ y=-\frac{k}{1+k}\\ z=\frac{{\sqrt{3}}}{1+k}\end{array}\right.$
即$\overrightarrow{EM}=（\frac{{\sqrt{3}k}}{1+k}，\frac{-k}{1+k}，\frac{{\sqrt{3}}}{1+k}）$，$\overrightarrow{EB}=（\sqrt{3}，0，0）$．
設(shè)平面MBE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x'，y'，z'），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=\frac{\sqrt{3}k}{1+k}{x}^{'}+\frac{-k}{1+k}{y}^{'}+\frac{\sqrt{3}}{1+k}{z}^{'}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}{x}^{'}=0}\end{array}\right.$，x'=0，令$y'=\sqrt{3}$，則z'=k．即$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}，k$）．
因為二面角M-BE-A的平面角為150°，
所以|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|cos150°|，即$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|k|}{\sqrt{3+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得k=±3．
因為k＞0，所以k=3．…..（14分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．