13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BB1=2,求:
(1)異面直線B1C1與A1C所成角的大。
(2)四棱錐A1-B1BCC1的體積.

分析 (1)由B1C1∥BC,知∠BCA1是異面直線B1C1與A1C所成角,由此能求出異面直線B1C1與A1C所成角大。
(2)四棱錐A1-B1BCC1的體積V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{A}_{1}-ABC}$,由此能求出結(jié)果.

解答 解:(1)∵正三棱柱ABC-A1B1C1,∴B1C1∥BC,
∴∠BCA1是異面直線B1C1與A1C所成角,…(2分)
在△BCA1中,BC=1,${A}_{1}B=\sqrt{5}$,${A}_{1}C=\sqrt{5}$,
∴cos∠BCA1=$\frac{B{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}-B{{A}_{1}}^{2}}{2BC•C{A}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$,…(5分)
∴$∠BC{A_1}=arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$,
∴異面直線B1C1與A1C所成角大小為arccos$\frac{\sqrt{5}}{10}$.…(7分)
(2)∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BB1=2,
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S△ABC•AA1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6}$,
∴四棱錐A1-B1BCC1的體積V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.…(14分)

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法,考查四棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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