【題目】如圖,已知 是橢圓的左右焦點(diǎn), 為橢圓的上頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,直線軸的交點(diǎn)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn),且,

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于, 兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),證明:直線過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析, .

【解析】試題分析:

(1)由題意可得的中位線,從而可得,故,且,然后根據(jù)可得, ,由此可得橢圓的方程.(2)分別設(shè)出直線直線的方程,解方程組可得點(diǎn) 的坐標(biāo),經(jīng)分析題意可得定點(diǎn)必在軸上,不妨設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)直線的斜率相等建立關(guān)于的等式,結(jié)合點(diǎn), 的坐標(biāo)經(jīng)計(jì)算可得定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析

(1)由題意得,

的中位線,

,

,

,

,

∴橢圓方程為

(2)設(shè), ,直線 ,

消去y整理得

解得(舍去).

,

代替上式中的,可得

由題意可得,若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線,

則得到的直線關(guān)于軸對(duì)稱,

所以若直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)一定是直線的交點(diǎn),故該點(diǎn)必在軸上.

設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo),則有,

,

的值代入上式,化簡(jiǎn)得

∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

10

女生

20

合計(jì)

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為

(1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

(2)并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說(shuō)明你的理由;

(3)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來(lái)自甲班,其中3名喜歡游泳,現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人喜歡游泳的概率.

下面的臨界值表僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】由于疫情影響,今年我們學(xué)校開展線上教學(xué),高一年級(jí)某班班主任為了了解學(xué)生上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間,對(duì)本班40名學(xué)生某天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,將數(shù)據(jù)(取整數(shù))整理后,繪制出如圖所示頻率分布直方圖,已知從左到右各個(gè)小組的頻率分別是0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,則根據(jù)直方圖所提供的信息.

1)這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘之間的學(xué)生有多少人?

2)這40位同學(xué)的線上平均學(xué)習(xí)時(shí)間是多少?

3)如果只用這40名學(xué)生這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生該天的上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間,這樣推斷是否合理?為什么?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.

(1)若α=75°,R=12 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l和面積;

(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為( )

①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本.

②盒子里共有80個(gè)零件,從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí),從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里.

③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).

④某班有56名同學(xué),指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.

A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(2018·長(zhǎng)沙二模)在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則.推廣到空間可以得到類似結(jié)論:已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某企業(yè)2017年招聘員工,其中A、B、C、D、E五種崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下:

(Ⅰ)從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人,試估計(jì)此人被錄用的概率;

(Ⅱ)從應(yīng)聘E崗位的6人中隨機(jī)選擇1名男性和1名女性,求這2人均被錄用的概率;

表中A、B、CD、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近(二者之差的絕對(duì)值不大于5%),但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例.研究發(fā)現(xiàn),若只考慮其中某四種崗位,則男性、女性的總錄用比例也接近,請(qǐng)寫出這四種崗位.(只需寫出結(jié)論

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】大型活動(dòng)即將舉行,為了做好接待工作,組委會(huì)招募了名男志愿者和名女志愿者,調(diào)查發(fā)現(xiàn),男、女志愿者中分別有人和人喜愛(ài)運(yùn)動(dòng),其余人不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng).

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表:

喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)

不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)

總計(jì)

男志愿者

女志愿者

總計(jì)

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有℅的把握認(rèn)為性別與喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)有關(guān)?

下面的臨界值表供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式: ,其中)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)bc分別是先后拋擲一顆骰子得到的點(diǎn)數(shù),則方程x2﹣bx+c=0有實(shí)根的概率為

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