【題目】四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD中點,PA⊥底面ABCD,PA=2.

(1)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求直線PC與平面PBE所成的角的正弦值.

【答案】
(1)證明:連結(jié)BD,

∵四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,

∴BD=BC=DC=1,

∵E是CD中點,∴BE⊥DC,

∵AB∥DC,∴BE⊥AB,

∵PA⊥底面ABCD,BE平面ABCD,

∴BE⊥PA,

∵PA∩AB=A,∴BE⊥平面PAB,

∵BE平面PAB,∴平面PBE⊥平面PAB.


(2)解:以E為原點,EB為x軸,EC為y軸,以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸,

建立空間直角坐標系,

則P( ,﹣1,2),C(0, ,0),B( ,0,0),E(0,0,0),

=(﹣ , ,﹣2), =( ,0,0), =( ,﹣1,2),

設(shè)平面PBE的法向量 =(x,y,z),

,取z=1,得 =(0,2,1),

設(shè)直線PC與平面PBE所成的角為θ,

則sinθ= = =

∴直線PC與平面PBE所成的角的正弦值為


【解析】(1)連結(jié)BD,推導(dǎo)出BE⊥AB,BE⊥PA,從而BE⊥平面PAB,由此能證明平面PBE⊥平面PAB.(2)以E為原點,EB為x軸,EC為y軸,以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線PC與平面PBE所成的角的正弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

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【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在[495,510)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.統(tǒng)計結(jié)果如下:

甲流水線樣本的頻數(shù)分布表

產(chǎn)品重量(克)

頻數(shù)

[490,495)

6

[495,500)

8

[500,505)

14

[505,510)

8

[510,515]

4

乙流水線樣本的頻率分布直方圖

(1)求甲流水線樣本合格的頻率;

(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).

分類

甲流水線

乙流水線

總計

合格品

不合格品

總計

附:K2.

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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