【題目】已知{an}是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且2bn=b1(1+Sn),bn≠0,又a2b2=4,a7+b3=11.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=anbn(n∈N*),求{cn}的前n項(xiàng)和Tn
【答案】(1)an=n;bn=2n﹣1(2)Tn=(n﹣1)2n+1
【解析】
(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式,以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn,{an}是公差為的等差數(shù)列,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得首項(xiàng)和公差,可得所求通項(xiàng)公式;
(2)求得,由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,即可得到所求和.
(1)2bn=b1(1+Sn),bn≠0,
n=1時(shí),2b1=b1(1+S1)=b1(1+b1),解得b1=1,
n≥2時(shí),2bn﹣1=1+Sn﹣1,且2bn=1+Sn,
相減可得2bn﹣2bn﹣1=Sn﹣Sn﹣1=bn,
即bn=2bn﹣1,
可得bn=2n﹣1,
設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,
a2b2=4,a7+b3=11即為a1+d=2,a1+6d=7,
解得a1=d=1,可得an=n;
(2)cn=anbn=n2n﹣1,
前n項(xiàng)和,
,
兩式相減可得﹣Tn=1+2+4+…+2n﹣1﹣n2n
n2n,
化簡可得Tn=(n﹣1)2n+1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—5:不等式選講]
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(,且).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)分類討論求得函數(shù)在不同取值時(shí)的最大值.
【試題解析】
(Ⅰ),
設(shè) ,則.
∵, ,∴在上單調(diào)遞增,
從而得在上單調(diào)遞增,又∵,
∴當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由此可知.
∵, ,
∴.
設(shè),
則 .
∵當(dāng)時(shí), ,∴在上單調(diào)遞增.
又∵,∴當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
①當(dāng)時(shí), ,即,這時(shí), ;
②當(dāng)時(shí), ,即,這時(shí), .
綜上, 在上的最大值為:當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若與曲線交于不同的兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率;
(3)若, 是直線上的動(dòng)點(diǎn),過作曲線的兩條切線,切點(diǎn)為,探究:直線是否過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元),空氣質(zhì)量指數(shù)為.當(dāng)時(shí),企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為,當(dāng)時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元;
(1)試寫出的表達(dá)式:
(2)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失超過350元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有12天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷在上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負(fù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南鎮(zhèn)2009~2018年梅雨季節(jié)的降雨量(單位:)的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計(jì)總體概率,解答下列問題:
“梅實(shí)初黃暮雨深”.請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量;
“江南梅雨無限愁”.鎮(zhèn)的楊梅種植戶老李也在犯愁,他過去種植的甲品種楊梅,他過去種植的甲品種楊梅,畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大(把握超過八成).而乙品種楊梅2009~2018年的畝產(chǎn)量(/畝)與降雨量的發(fā)生頻數(shù)(年)如列聯(lián)表所示(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失).請(qǐng)你幫助老李排解憂愁,他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更小?
(完善列聯(lián)表,并說明理由).
畝產(chǎn)量\降雨量 | 合計(jì) | ||
<600 | 2 | ||
1 | |||
合計(jì) | 10 |
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.703 |
(參考公式:,其中)
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