考點:直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)連接AC,交BD于O,根據(jù)三角形中位線定理易得:OE∥AF,再由線面平行的判定定理,即可得到AC
1∥平面BDE.
(2)利用勾股定理求證△A
1BE和△A
1DE為直角三角形,再根據(jù)線面垂直的判定定理說明直線和平面垂直即可.
(3)建立空間直角坐標(biāo)系,直線A
1F要和平面BDE有個交點,這個交點是未知的,可以設(shè)為G(x
0,y
0,z
0),則∠A
1GE是直線A
1F與平面BDE所成的角.看坐標(biāo)中的x
0,y
0,z
0能否用其它的量來表示.G點是未知的,看有哪些條件來限制它.G點在平面BDE上,根據(jù)共面向量基本定理,存在一組實數(shù)λ,μ使
=λ+μ這樣便得到第一個限制條件;G點在直線A
1F上,所以向量
與
共線,所以存在實數(shù)b使得
=b,這是找到的第二個條件.第三個條件就是,在Rt△A
1GE中,sin∠A
1GE=
=,這樣三個條件都找到,帶入坐標(biāo)進(jìn)行運算即可.
解答:

證明:(1)如圖,連接AC,交BD于O點,則O為AC的中點,連接EO;
∵E為CC
1的中點,
∴EO∥AC
1,
又∵EO?平面BED,AC
1?平面BED
∴AC
1∥平面BED,
(2)連接A
1B,A
1C
1,AA
1=2AB=2,E為CC
1的中點,
∴BE=
,
A1E=,
A1D=;
∴在△A
1BE中:
BE2+A1E2=A1B2,則△A
1BE是直角三角形,∴A
1E⊥BE;
同理可證A
1E⊥DE;
∵BE∩DE=E;
∴A
1E⊥平面BDE.
(3)以DA所在直線為x軸,以DC所在直線為y軸,以DD
1所在的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
根據(jù)條件知道以下幾個點坐標(biāo):
B(1,1,0),E(0,1,1),D(0,0,0),A
1(1,0,2),設(shè)F(1,1,m),設(shè)A
1F交平面BDE于G(x
0,y
0,z
0),連接A
1G,EG,則∠A
1GE 便是直線A
1F與平面BDE所成角;
先給出所用到的幾個向量的坐標(biāo):
=(-1,-1,0),
=(-1,0,1),
=(x
0-1,y
0-1,z
0),
=(x0-1,y0,z0-2),
=(-1,1,-1).
∵G在平面BDE上,∴存在一組實數(shù)λ,μ使
=λ+μ,帶入坐標(biāo)得:
(x
0-1,y
0-1,z
0)=λ(-1,-1,0)+μ(-1,0,1),所以得到:
,解得:x
0+y
0+z
0=2; ①
又∵
與共線,∴存在實數(shù)b使
=b;
∴帶入坐標(biāo)得:(x
0-1,y
0,z
0-2)=b(0,1,m-2);
∴
,解得:
; ②
由①②得:
x0=1,y0=,z0=;
又直線A
1F與平面BDE所稱角的正弦值是
;
∴
=;
∴
=,解得:m=-3.
點評:考查的知識點為:線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理,共線向量基本定理,共面向量基本定理,直線和平面所成的角的定義.而要注意和學(xué)習(xí)的是空間向量解決空間幾何的方法.