在正四棱柱ABCD-A11B1C1D1中,AA1=2AB=2,E為CC1的中點
(1)求證:AC1∥平面BDE;
(2)求證:A1E⊥平面BDE;
(3)若F為BB1上的動點,使直線A1F與平面BDE所稱角的正弦值是
6
3
,求DF的長.
考點:直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)連接AC,交BD于O,根據(jù)三角形中位線定理易得:OE∥AF,再由線面平行的判定定理,即可得到AC1∥平面BDE.
(2)利用勾股定理求證△A1BE和△A1DE為直角三角形,再根據(jù)線面垂直的判定定理說明直線和平面垂直即可.
(3)建立空間直角坐標(biāo)系,直線A1F要和平面BDE有個交點,這個交點是未知的,可以設(shè)為G(x0,y0,z0),則∠A1GE是直線A1F與平面BDE所成的角.看坐標(biāo)中的x0,y0,z0能否用其它的量來表示.G點是未知的,看有哪些條件來限制它.G點在平面BDE上,根據(jù)共面向量基本定理,存在一組實數(shù)λ,μ使
BG
BD
BE
這樣便得到第一個限制條件;G點在直線A1F上,所以向量
A1G
A1F
共線,所以存在實數(shù)b使得
A1G
=b
A1F
,這是找到的第二個條件.第三個條件就是,在Rt△A1GE中,sin∠A1GE=
A1E
A1G
=
6
3
,這樣三個條件都找到,帶入坐標(biāo)進(jìn)行運算即可.
解答: 證明:(1)如圖,連接AC,交BD于O點,則O為AC的中點,連接EO;
∵E為CC1的中點,
∴EO∥AC1
又∵EO?平面BED,AC1?平面BED
∴AC1∥平面BED,
(2)連接A1B,A1C1,AA1=2AB=2,E為CC1的中點,
∴BE=
2
,A1E=
3
,A1D=
5
;
∴在△A1BE中:BE2+A1E2=A1B2,則△A1BE是直角三角形,∴A1E⊥BE;
同理可證A1E⊥DE;
∵BE∩DE=E;
∴A1E⊥平面BDE.
(3)以DA所在直線為x軸,以DC所在直線為y軸,以DD1所在的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
根據(jù)條件知道以下幾個點坐標(biāo):
B(1,1,0),E(0,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,2),設(shè)F(1,1,m),設(shè)A1F交平面BDE于G(x0,y0,z0),連接A1G,EG,則∠A1GE 便是直線A1F與平面BDE所成角;
先給出所用到的幾個向量的坐標(biāo):
BD
=(-1,-1,0)
BE
=(-1,0,1),
BG
=(x0-1,y0-1,z0),
A1G
=(x0-1,y0z0-2)
,
A1E
=(-1,1,-1)

∵G在平面BDE上,∴存在一組實數(shù)λ,μ使
BG
BD
BE
,帶入坐標(biāo)得:
(x0-1,y0-1,z0)=λ(-1,-1,0)+μ(-1,0,1),所以得到:
x0-1=-λ-μ
y0-1=-λ
z0
,解得:x0+y0+z0=2;        ①
又∵
A1G
 與
A1F
共線,∴存在實數(shù)b使
A1G
=b
A1F
;
∴帶入坐標(biāo)得:(x0-1,y0,z0-2)=b(0,1,m-2);
x0-1=0
y0=b
z0-2=b(m-2)
,解得:
x0=1
z0-2=y0(m-2)
;   ②
由①②得:x0=1,y0=
m-3
m-1
,z0=
2
m-1

又直線A1F與平面BDE所稱角的正弦值是
6
3
;
A1E
A1G
=
6
3
;
3
(
m-3
m-1
)2+(
-2m
m-1
)2
=
6
3
,解得:m=-3.
點評:考查的知識點為:線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理,共線向量基本定理,共面向量基本定理,直線和平面所成的角的定義.而要注意和學(xué)習(xí)的是空間向量解決空間幾何的方法.
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