Question

在正四棱柱ABCD-A1₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E為CC₁的中點
（1）求證：AC₁∥平面BDE；
（2）求證：A₁E⊥平面BDE；
（3）若F為BB₁上的動點，使直線A₁F與平面BDE所稱角的正弦值是

6

3

，求DF的長．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）連接AC，交BD于O，根據(jù)三角形中位線定理易得：OE∥AF，再由線面平行的判定定理，即可得到AC₁∥平面BDE．
（2）利用勾股定理求證△A₁BE和△A₁DE為直角三角形，再根據(jù)線面垂直的判定定理說明直線和平面垂直即可．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，直線A₁F要和平面BDE有個交點，這個交點是未知的，可以設(shè)為G（x₀，y₀，z₀），則∠A₁GE是直線A₁F與平面BDE所成的角．看坐標(biāo)中的x₀，y₀，z₀能否用其它的量來表示．G點是未知的，看有哪些條件來限制它．G點在平面BDE上，根據(jù)共面向量基本定理，存在一組實數(shù)λ，μ使

BG

=λ

BD

+μ

BE

這樣便得到第一個限制條件；G點在直線A₁F上，所以向量

A1G

與

A1F

共線，所以存在實數(shù)b使得

A1G

=b

A1F

，這是找到的第二個條件．第三個條件就是，在Rt△A₁GE中，sin∠A₁GE=

A1E

A1G

=

6

3

，這樣三個條件都找到，帶入坐標(biāo)進(jìn)行運算即可．

解答： 證明：（1）如圖，連接AC，交BD于O點，則O為AC的中點，連接EO；
∵E為CC₁的中點，
∴EO∥AC₁，
又∵EO?平面BED，AC₁?平面BED
∴AC₁∥平面BED，
（2）連接A₁B，A₁C₁，AA₁=2AB=2，E為CC₁的中點，
∴BE=

2

，A1E=

3

，A1D=

5

；
∴在△A₁BE中：BE2+A1E2=A1B2，則△A₁BE是直角三角形，∴A₁E⊥BE；
同理可證A₁E⊥DE；
∵BE∩DE=E；
∴A₁E⊥平面BDE．
（3）以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD₁所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
根據(jù)條件知道以下幾個點坐標(biāo)：
B（1，1，0），E（0，1，1），D（0，0，0），A₁（1，0，2），設(shè)F（1，1，m），設(shè)A₁F交平面BDE于G（x₀，y₀，z₀），連接A₁G，EG，則∠A₁GE 便是直線A₁F與平面BDE所成角；
先給出所用到的幾個向量的坐標(biāo)：

BD

=(-1，-1，0)，

BE

=（-1，0，1），

BG

=（x₀-1，y₀-1，z₀），

A1G

=(x0-1，y0，z0-2)，

A1E

=(-1，1，-1)．
∵G在平面BDE上，∴存在一組實數(shù)λ，μ使

BG

=λ

BD

+μ

BE

，帶入坐標(biāo)得：
（x₀-1，y₀-1，z₀）=λ（-1，-1，0）+μ（-1，0，1），所以得到：

x0-1=-λ-μ y0-1=-λ z0=μ

，解得：x₀+y₀+z₀=2；        ①
又∵

A1G

 與

A1F

共線，∴存在實數(shù)b使

A1G

=b

A1F

；
∴帶入坐標(biāo)得：（x₀-1，y₀，z₀-2）=b（0，1，m-2）；
∴

x0-1=0 y0=b z0-2=b(m-2)

，解得：

x0=1 z0-2=y0(m-2)

；   ②
由①②得：x0=1，y0=

m-3

m-1

，z0=

2

m-1

；
又直線A₁F與平面BDE所稱角的正弦值是

6

3

；
∴

A1E

A1G

=

6

3

；
∴

3

( m-3 m-1 )2+( -2m m-1 )2

=

6

3

，解得：m=-3．

點評：考查的知識點為：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，共線向量基本定理，共面向量基本定理，直線和平面所成的角的定義．而要注意和學(xué)習(xí)的是空間向量解決空間幾何的方法．