分析 取CB的中點G,連結(jié)DG,建立空間直角坐標(biāo)系:
(1)$\overrightarrow{DG}$=(12,0,0)為平面PAD的一個法向量,根據(jù)$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{DG}$,進(jìn)而可證EF∥面PAD
(2)平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=(5,-12,0),代和線面夾角公式,可得答案.
解答 證明:取CB的中點G,連結(jié)DG,因為AD∥BG且AD=BD,
所以四邊形ABGD為平行四邊形,
所以DG=AB=12,
又因為AB⊥AD,
所以DG⊥AD,
又PD⊥平面ABCD,
故以點D原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.…(2分)
因為BC=10,AD=5,PD=8,
所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,-5,0),
因為E,F(xiàn)分別是PB,DC的中點,
所以E(6,-2.5,0),F(xiàn)(6,2.5,4),
(1)因為PD⊥平面ABCD,DG?平面ABCD,
所以PD⊥DG,
又因為DG⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD,
所以DG⊥平面PAD,
所以$\overrightarrow{DG}$=(12,0,0)為平面PAD的一個法向量,…(5分)
又$\overrightarrow{EF}$=(0,5,4),$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DG}$=0,
所以$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{DG}$,
又EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD;…(7分)
(2)設(shè)平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DB}\\ \overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DP}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}12x+5y=0\\ 8z=0\end{array}\right.$,
令x=5,則$\overrightarrow{n}$=(5,-12,0)…(10分)
所以EF與平面PDB所成角θ滿足:
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{EF}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{60}{13•\sqrt{41}}$=$\frac{60}{533}\sqrt{41}$,…(13分)
所以EF與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{60}{533}\sqrt{41}$…(14分)
點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的證明,直線與平面的夾角,難度中檔.
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