Question

已知兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）若直線上存在點(diǎn)P，使得|PO|²=|PM|•|PN|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該直線為“A型直線”．給出
下列直線，其中是“A型直線”的是（　　）
①y=x+1
②x=

1

2

③y=-x+3
④y=-2x+3．

A．①④

B．①③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

設(shè)P（x，y），可得|PO|²=x²+y²，
|PM|=

(x+1)2+y2

，|PN|=

(x-1)2+y2

∵|PO|²=|PM|•|PN|，
∴x²+y²=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

，
化簡(jiǎn)整理，得x²-y²=1
∴點(diǎn)P的軌跡是x²-y²=1，是焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線
對(duì)于①，因?yàn)橹本�y=x+1與雙曲線x²-y²=1的漸近線y=x平行，
所以直線y=x+1與雙曲線x²-y²=1必定有一個(gè)交點(diǎn)，
即存在點(diǎn)P，使得y=x+1是“A型直線”；
對(duì)于②，因?yàn)橹本�x=

1

2

過雙曲線虛軸上一點(diǎn)與軸虛垂直，所以直線x=

1

2

與雙曲線x²-y²=1沒有交點(diǎn)
故不存在點(diǎn)P，使得x=

1

2

是“A型直線”；
對(duì)于③，因?yàn)橹本�y=-x+3與雙曲線x²-y²=1的漸近線y=-x平行，所以直線y=-x+3與雙曲線x²-y²=1必定有一個(gè)交點(diǎn)，
即存在點(diǎn)P，使得y=-x+3是“A型直線”；
對(duì)于④，因?yàn)橹本�y=-2x+3經(jīng)過x軸上點(diǎn)（

3

2

，0），該點(diǎn)在雙曲線x²-y²=1的張口以內(nèi)
所以直線y=-2x+3與雙曲線x²-y²=1必定有一個(gè)交點(diǎn)，即存在點(diǎn)P，使得y=-x+3是“A型直線”
綜上所述，滿足是“A型直線”的有①③④，共3個(gè)
故選：D