Question

設(shè)圓M：x²+y²=8，將曲線上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)不變，得到曲線C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

解：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲線C的方程為．
它表示一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又，
∴直線l的方程為．
由，
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.===．
k₁+k₂=0．故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．
分析：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理后就得到曲線C的方程．
（2）由題設(shè)條件可知直線l的方程為．聯(lián)立方程組后根據(jù)直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)可知△＞0，由此能夠推導(dǎo)出m的取值范圍．
（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓和直線的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，仔細(xì)審題，避免不必要的錯(cuò)誤．