Question

11．設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由點（$\frac{π}{3}$，2）在函數(shù)圖象上，結合范圍-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，從而解得函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求g（x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解．

解答 （本題滿分為15分）
解：（Ⅰ）由圖象知，A=2，…（2分）
又$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，ω＞0，
所以T=2π=$\frac{2π}{ω}$，得ω=1．…（4分）
所以f（x）=2sin（x+φ），
將點（$\frac{π}{3}$，2）代入，得$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z），又-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
所以，φ=$\frac{π}{6}$．…（6分）
所以f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
故函數(shù)y=f（x）的解析式為：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．…（8分）
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，
得到的圖象對應的解析式為：y=2sinx，
再把橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到的圖象對應的解析式為：g（x）=2sin2x，…12分
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x≤$\frac{2π}{3}$，
∴2sin2x∈[-1，2]，可得：g（x）∈[-1，2]…15分

點評 本題是中檔題，主要考查了函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式的方法，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應用，注意視圖用圖能力的培養(yǎng)．