如圖,A為橢圓上的一個動點,弦AB、AC分別過焦點F1、F2,當AC垂直于x軸時,恰好有AF1AF2=3:1.

(Ⅰ) 求橢圓的離心率;(Ⅱ) 設(shè).

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時,求的值;

②當A點為該橢圓上的一個動點時,試判斷是否

為定值?若是,請證明;若不是,請說明理由.

(Ⅰ)   (Ⅱ) 6、略


解析:

(Ⅰ)設(shè),則.由題設(shè)及橢圓定義得,

消去,所以離心率.

(Ⅱ) 由(1)知,,所以橢圓方程可化為     .

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時,,直線的方程為.

得 ,解得,

∴ 點的坐標為.又,所以,,所以,.②當A點為該橢圓上的一個動點時,為定值6.

證明 設(shè),,則.

為橢圓的長軸端點,則,

所以.若為橢圓上異于長軸端點的任意一點,則由得,,所以.

又直線的方程為,所以由

.,

.由韋達定理得 ,所以. 同理 .

.

綜上證得,當A點為該橢圓上的一個動點時,為定值6.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的焦點,P為橢圓上的點,PF1⊥OX軸,且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行.
(1)求橢圓的離心率e
(2)若Q是橢圓上任意一點,證明∠F1QF2
π
2

(3)過F1與OP垂直的直線交橢圓于M,N,若△M F2N的面積為20
3
,求橢圓方程.

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(1)求橢圓的離心率e
(2)若Q是橢圓上任意一點,證明∠F1QF2
(3)過F1與OP垂直的直線交橢圓于M,N,若△M F2N的面積為,求橢圓方程.

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如圖,P是雙曲線上的動點,F(xiàn)1、F2是雙曲線的焦點,M是∠F1PF2的平分線上的一點,且.有一同學(xué)用以下方法研究|OM|:延長F2M交PF1于點N,可知△PNF2為等腰三角形,且M為F2N的中點,得.類似地:P是橢圓上的動點,F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點,M是∠F1PF2的平分線上的一點,且.則|OM|的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.

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如圖,已知A是橢圓上的一個動點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,弦AB過點F2,當AB⊥x軸時,恰好有|AF1|=3|AF2|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)P是橢圓的左頂點,PA,PB分別與橢圓右準線交與M,N兩點,求證:以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點,并求出定點坐標.

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如圖,已知A是橢圓上的一個動點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,弦AB過點F2,當AB⊥x軸時,恰好有|AF1|=3|AF2|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)P是橢圓的左頂點,PA,PB分別與橢圓右準線交與M,N兩點,求證:以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點,并求出定點坐標.

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