Question

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=(-

12

5

， 1)，求當(dāng)

m

•

n

取最小值時(shí)，tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，根據(jù)三角形的內(nèi)角求出B的大��；
（Ⅱ）由

m

=（cosA，cos2A），n=(-

12

5

 ， 1)，化簡(jiǎn)

m

•

n

求出最小值時(shí)A的值，然后求出tanA，再求tan(A-

π

4

)值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
所以2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．（3分）
因?yàn)?＜A＜π，所以sinA≠0．
所以cosB=

1

2

．（5分）
因?yàn)?＜B＜π，所以B=

π

3

．（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

m

•

n

=- 

12

5

cosA+cos2A，（8分）
所以

m

•

n

=- 

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

．（10分）
所以當(dāng)cosA=

3

5

時(shí)，m•n取得最小值．
此時(shí)sinA=

4

5

（0＜A＜π），于是tanA=

4

3

．（12分）
所以tan(A-

π

4

)=

tanA-1

tanA+1

=

1

7

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，注意角的范圍與三角函數(shù)值的符號(hào)，考查計(jì)算能力．