Question

20．如果對定義在R上的函數(shù)f（x），對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）“H函數(shù)”．下列函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為①③．
①y=e^x+x；②y=x²；③y=3x-sinx；④$\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
對于①，y=e^x+x為增函數(shù)，滿足條件．
對于②，函數(shù)y=x²在定義域上不單調(diào)，不滿足條件．
對于③，y=3x-sinx，y′=3-cosx＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
對于④，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為①③，
故答案為：①③

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．